计算机科学入门 ​

布尔代数 ​

布尔代数名字来源于乔治·布尔，19世纪最重要的数学家之一，出版了《逻辑的数学分析》 ，这是他对符号逻辑的第一次贡献。1854年，他出版了《思维规律的研究》，这是他最著名的著作。在这本书中布尔介绍了现在以他的名字命名的布尔代数。

在高中数学的第一节课我们就学习了布尔代数中的集合运算： 交集、并集、补集 。

而现在将要介绍布尔代数中的剩下一个部分逻辑运算： 与（AND）、或（OR）、非（NOT） 。

在数学中代数最常见的是 x ，当然还有非常多的代数，而在逻辑运算中只有两个： true 、 false 。

基础运算 ​

NOT ​

把布尔值反转，把 true 进行 NOT 就会变成 false，反之亦然

像这种 表征逻辑事件输入和输出之间全部可能状态的表格 ，我们将它称为 真值表 。

AND ​

只有两个 均为 True 才为 True 。

OR ​

两个 其中之一 为 Ture 则为 True 。

逻辑门 ​

我们先来看一道 初中 电路基础题。

很容易看出这道题选 A ，因为电流从正极流出之后会选择电阻为零的那一条路， L2 被短路了。

电路其实就跟公路一样。一个是人走的，一个是电子走的。当路径最短且最通畅时，你开车时自然就选择了这条路。

NOT 非门 ​

当输入为真时，电流将不会流过 OUTPUT ，因此 OUTPUT 为假。

当输入为假时，电流无法流过，因此 OUTPUT 为真。

CMOS 电路：

太复杂了，它可以这样表示：

真值表 ​

AND 与门 ​

仅打开 A ，电流无法流过。

仅打开 B 也是同理。

只有 同时 打开 A 和 B ，电流才能通过。

CMOS 电路：

太复杂了，它可以这样表示：

真值表 ​

OR 或门 ​

可以把它看成是 非门 和 与门 的并联。

如果仅打开 A ，电流可以通过。

如果仅打开 B ，电流也可以通过。

CMOS 电路：

太复杂了，它可以这样表示：

真值表 ​

XOR 异或门 ​

它和或门的唯一区别就是，当输入均为 True 的时候，输出 False 。

真值表 ​

想要实现这种效果我们可以从 或门 开始：

我们可以加一个 与门 ，但是这样依然是 True ：

在与门后面加一个 非门 ，这样就有 False 了：

我们需要的是 False ，所以需要结合一个 与门 ：

验证真值表中的其他几行，也一样符合。

它可以这样表示：

XNOR 同或门 ​

在 异或门 后面再加一个 非门 就成了 同或门 。

真值表 ​

NOR 或非门 ​

在 或门 后面再加一个 非门 就成了 或非门 。

真值表 ​

NAND 与非门 ​

在 与门 后面再加一个 非门 就成了 与非门 。

真值表 ​