二阶线性常系数微分方程 ​

二阶线性微分方程基本概念 ​

二阶常系数齐次线性微分方程： $y^{″}+p{y}^{\prime }+qy=0$

二阶常系数非齐次线性微分方程： $y^{″}+p{y}^{\prime }+qy=f(x)$ ，其中 $p,q$ 为常数

1）二阶常系数齐次线性微分方程的解的结构

定理 1 如果函数 $y_1(x)$ 与 $y_2(x)$ 是方程 $y^{″}+p{y}^{\prime }+qy=0$ 的两个解，那么 $y=C_1{y}_1(x)+C_2{y}_2(x)$ 也是方程的解，其中 $C_1,C_2$ 是任意常数

定理 2 如果函数 $y_1(x)$ 与 $y_2(x)$ 是方程 $y^{″}+p{y}^{\prime }+qy=0$ 的两个线性无关的解，那么 $y=C_1{y}_1(x)+C_2{y}_2(x)$ 是方程的通解，其中 $C_1,C_2$ 是任意常数

两个函数线性相关的判断： 对于两个函数 $y_1(x)$ 与 $y_2(x)$ ，它们线性相关与否，只要看它们的比是否为常数，若 $\frac{y_1(x)}{y_2(x)}=C$ ，那么它们线性相关，否则线性无关

2）二阶常系数非齐次线性微分方程的解的结构

方程 $y^{″}+p{y}^{\prime }+qy=0$ 称为与非齐次方程 $y^{″}+p{y}^{\prime }+qy=f(x)$ 对应的齐次方程

定理 3 设 $y^{\ast }(x)$ 是二阶常系数非齐次方程 $y^{″}+p{y}^{\prime }+qy=f(x)$ 的一个特解， $Y(x)$ 是对应的齐次方程的通解，那么 $y=Y(x)+y^{\ast }(x)$ 是二阶常系数非齐次方程的通解，即 非齐通=齐通+非齐特

定理 4 设 $y_1^{\ast }(x)$ 与 $y_2^{\ast }(x)$ 分别是方程 $y^{″}+p{y}^{\prime }+qy=f_1(x)$ 与 $y^{″}+p{y}^{\prime }+qy=f_2(x)$ 的特解，则 $y_1^{\ast }(x)+y_2^{\ast }(x)$ 是非齐次方程 $y^{″}+p{y}^{\prime }+qy=f_1(x)+f_2(x)$ 的特解

二阶常系数齐次线性微分方程求解 ​

特征方程： 方程 $r^2+pr+q=0$ 叫做微分方程 $y^{″}+p{y}^{\prime }+qy=0$ 的特征方程

特征方程的两个根 $r_1$ 与 $r_2$ 为实根，可用公式 $r_{1,2}=\frac{-p\pm \sqrt{p^2-4q}}{2}$ 求出

特征方程的两个根 $r_1$ 与 $r_2$ 为共轭复根，可用公式 $r_{1,2}=\frac{-p\pm \sqrt{4q-p^{2}i}}{2}$ 求出

特征方程的根与通解的关系 ​

二阶常系数齐次线性微分方程求通解的步骤：

（1）写出微分方程的特征方程 $r^2+pr+q=0$

（2）求出特征方程的两个根 $r_1$ 与 $r_2$

（3）根据两个根的情况，按照表格写出通解

两种自由项 ​

非齐次方程 $y^{″}+p{y}^{\prime }+qy=f(x)$ 特解的设法