导数与微分 ​

导数的概念 ​

导数的定义 ​

（1）在某点 $x_0$ 的导数

·设函数 $y=f(x)$ 在点 $x_0$ 的某个邻域内有定义，如果极限 $\underset{\mathrm{\Delta }x\to 0}{lim}\frac{\mathrm{\Delta }y}{\mathrm{\Delta }x}$ 存在，则称函数 $y=f(x)$ 在点 $x_0$ 处可导，并称这个极限为函数 $y=f(x)$ 在点 $x_0$ 处的导数，记为 $f^{\prime }(x_0)$ ，即 $f^{\prime }(x_0)=\underset{\mathrm{\Delta }x\to 0}{lim}\frac{\mathrm{\Delta }y}{\mathrm{\Delta }x}=\underset{\mathrm{\Delta }x\to 0}{lim}\frac{f(x_0+\mathrm{\Delta }x)-f(x_0)}{\mathrm{\Delta }x}$ ，也可以记为 $y^{\prime }{|}_{x=x_0}$ 或 $\frac{df(x)}{dx}{|}_{x=x_0}$

导数定义的其他形式，常见的有：

（2）导函数

​ 导函数：$f^{\prime }(x)=\underset{\mathrm{\Delta }x\to 0}{lim}\frac{\mathrm{\Delta }y}{\mathrm{\Delta }x}=\underset{\mathrm{\Delta }x\to 0}{lim}\frac{f(x+\mathrm{\Delta }x)-f(x)}{\mathrm{\Delta }x}$，可记为 $y^{\prime }=f^{\prime }(x)$ 或 $\frac{dy}{dx}$

（3）左右导数及可导的充要条件

左导数：$f_{-}^{\prime }(x_0)=\underset{x\to x_0^{-}}{lim}\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}$ ；右导数：$f_{+}^{\prime }(x_0)=\underset{x\to x_0^{+}}{lim}\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}$

$f(x)$ 在 $x=x_0$ 处可导的充要条件为： $f_{-}^{\prime }(x_0)=f_{+}^{\prime }(x_0)$

（4）函数在一点可导与连续的关系： 可到一定连续，连续不一定可导。

导数的几何意义 ​

函数 $y=f(x)$ 在点 $x_0$ 处的导数 $f^{\prime }(x_0)$ 在几何上表示曲线 $y=f(x)$ 在点 $M(x_0,f(x_0))$ 处的切线的斜率，即 $f^{\prime }(x_0)=\tan \alpha$ ，其中 $\alpha$ 是切线的倾角。

切线方程：

（1）若 $y=f(x)$ 在点 $x_0$ 处可导，则曲线 $y=f(x)$ 在点 $M(x_0,f(x_0))$ 处的切线方程

（2）若 $f^{\prime }(x_0)=0$ ，切线垂直于 $y$ 轴，此时的切线方程： $y=f(x_0)$

（3）若 $f^{\prime }(x_0)=\mathrm{\infty }$ ，切线垂直于 $x$ 轴，此时的切线方程： $x=x_0$

法线方程：

（1）当 $f^{\prime }(x_0)\ne 0$ 时，则曲线在点 $(x_0,f(x_0))$ 处的法线方程： $y-y_0=-\frac{1}{f^{\prime }(x_0)}(x-x_0)$

（2）当 $f^{\prime }(x_0)=0$ 时，切线垂直于 $y$ 轴，此时的法线方程：$x=x_0$

（3）当 $f^{\prime }(x_0)=\mathrm{\infty }$ 时，切线垂直于 $x$ 轴，此时的法线方程：$y=f(x_0)$

求导法则与求导方法 ​

基本求导法则与求导公式 ​

1）基本初等函数的导数

（1）$(c{)}^{\prime }=0$ （2）$(x^u{)}^{\prime }=\mu x^{\mu -1}$ （3）$(a^x{)}^{\prime }=a^x\ln a$ （4）$(e^x{)}^{\prime }=e^x$

（5）$({\log }_{a}x{)}^{\prime }=\frac{1}{x\ln a}$ （6）$(\ln x{)}^{\prime }=\frac{1}{x}$ （7）$(\sin x{)}^{\prime }=\cos x$ （8）$(\cos x{)}^{\prime }=-\sin x$

（9）$(\tan x{)}^{\prime }={\sec }^{2}x$ （10）$(\cot x{)}^{\prime }=-{\csc }^{2}x$ （11）$(\sec x{)}^{\prime }=\sec x\cdot \tan x$ （12）$(\csc x{)}^{\prime }=-\csc x\cdot \cot x$

（13）$(\arcsin x{)}^{\prime }=\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$ （14）$(\arccos x{)}^{\prime }=-\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$ （15）$(\arctan x{)}^{\prime }=\frac{1}{1+x^2}$ （16）$(arccotx{)}^{\prime }=-\frac{1}{1+x^2}$

2）函数的和、差、积、商的求导法则

设 $u=u(x),v=v(x)$ 都可导，则

（1）$(u\pm v{)}^{\prime }=u^{\prime }\pm v^{\prime }$ （2）$(Cu{)}^{\prime }=C{u}^{\prime }$

（3）$(uv{)}^{\prime }=u^{\prime }v+u{v}^{\prime }$ （4）$(\frac{u}{v}{)}^{\prime }=\frac{u^{\prime }v-u{v}^{\prime }}{v^2}$

3）反函数的求导法则

设 $x=f(y)$ 在区间 $I_y$ 内单调、可导且 $f^{\prime }(y)\ne 0$ ，则它的反函数 $y=f^{-1}(x)$ 在 $I_x=\{x|x=f(y),y\in I(y)\}$ 内也可导，并且 $[f^{-1}(x){]}^{\prime }=\frac{1}{f^{\prime }(y)}$ ，或 $\frac{dy}{dx}=\frac{1}{dx/dy}$

​ 方法：求 $y=f(x)$ 的反函数 $x=f^{-1}(y)$ 的导数步骤：

​ （1）求出 $f^{\prime }(x)$

​ （2）反函数 $x=f^{-1}(y)$ 的导数为 $\frac{1}{f^{\prime }(x)}$

​ （3）将 $\frac{1}{f^{\prime }(x)}$ 中的 $x$ 用 $x=f^{-1}(y)$ 替换，或将所有关于 $x$ 的式子用 $y$ 代替即可

4）复合函数的求导法则 —— 链式法则

已知复合函数 $y=f[g(x)]$ ，且 $y=f(u),u=g(x)$ 都可导，则复合函数 $y=f[g(x)]$ 的导数为 $\frac{dy}{dx}=\frac{dy}{du}\cdot \frac{du}{dx}$ ，或 $y^{\prime }=f^{\prime }(u)\cdot g^{\prime }(x)$

高阶导数 ​

一般地，函数 $y=f(x)$ 的导数 $y^{\prime }=f^{\prime }(x)$ 仍然是 $x$ 的函数，我们把 $y^{\prime }=f^{\prime }(x)$ 的导数叫做函数 $y=f(x)$ 的二阶导数，记作 $y^{″},f^{″}(x)$ 或 $\frac{d^{2}y}{d{x}^2}$

类似地，二阶导数的导数，叫做三阶导数，一般地，$n-1$ 阶导数的导数叫做 $n$ 阶导数，分别记作 $y^{‴},y^{(4)},\cdots y^{(n)}$ 或 $\frac{d^{3}y}{d{x}^3},\frac{d^{4}y}{d{x}^4},\cdots \frac{d^{n}y}{d{x}^n}$，二阶及二阶以上的导数统称为高阶导数

高阶导的运算法则 ​

设 $u=u(x),v=v(x)$ 都可导，则

（1）$(u\pm v{)}^{(n)}=u^{(n)}\pm v^{(n)}$ （2）$(Cu{)}^{(n)}=C{u}^{(n)}$

莱布尼茨公式

求导方法 ​

1）隐函数求导

隐函数 $y=y(x)$ 求导方法：

（1）方程两端同时对自变量 $x$ 求导，注意把 $y$ 当作复合函数求导的中间变量来看待

（2）从求导后的方程中解出 $y^{\prime }$

（3）隐函数求导允许其结果中含有 $y^{\prime }$

2）对数求导法

​ 先在 $y=f(x)$ 两边取对数，然后再求出 $y$ 的导数

设 $y=f(x)$ ，两边取对数，得 $\ln y=\ln f(x)$ ，两边对 $x$ 求导，得 $\frac{1}{y}\cdot y^{\prime }=[\ln f(x){]}^{\prime }$，故 $y^{\prime }=f(x)\cdot [\ln f(x){]}^{\prime }$

3）参数方程求导

设 $y$ 与 $x$ 的函数关系式由参数方程 $\{\begin{array}{l}x=\phi (t)\\ y=\psi (t)\end{array}$ 所确定的，则称此函数关系所表达的函数为由参数方程所确定的函数，若 $x=\phi (t)$ 和 $y=\psi (t)$ 都可导，则

（1）一阶导： $\frac{dy}{dx}=\frac{(\frac{dy}{dt})}{(\frac{dx}{dt})}=\frac{{\psi }^{\prime }(t)}{{\phi }^{\prime }(t)}$

（2）二阶导：$\frac{d^{2}y}{d{x}^2}=\frac{d}{dx}(\frac{dy}{dx})=\frac{\frac{d}{dt}(\frac{dy}{dx})}{\frac{dx}{dt}}$

微分 ​

定义 设函数 $y=f(x)$ 在某区间内有定义， $x_0$ 及 $x_0+\mathrm{\Delta }x$ 在该区间内，如果函数的增量 $\mathrm{\Delta }y=f(x_0+\mathrm{\Delta }x)-f(x_0)$ 可表示为 $\mathrm{\Delta }y=A\mathrm{\Delta }x+o(\mathrm{\Delta }x)$ ，其中 $A$ 是不依赖于 $\mathrm{\Delta }x$ 的常数，而 $o(\mathrm{\Delta }x)$ 是比 $\Delta x $高阶的无穷小，那么称函数 $y=f(x)$ 在点 $x_0$ 处是可微的，而 $A\mathrm{\Delta }x$ 叫做函数 $y=f(x)$ 在点 $x_0$ 相应于自变量增量 $\mathrm{\Delta }x$ 的微分，记作 $dy$ ，即 $dy=A\mathrm{\Delta }x$

函数可微的条件：

函数 $f(x)$ 在点 $x_0$ 可微的充分必要条件是函数 $f(x)$ 在点 $x_0$ 可导，且当函数 $f(x)$ 在点 $x_0$ 可微时，其微分一定是 $dy{|}_{x=x_0}{f}^{\prime }(x_0)\mathrm{\Delta }x$

微分法则

（1）$d(u\pm v)=du\pm dv$ （2）$d(Cu)=Cdu$

（3）$d(uv)=vdu+udv$ （4）$d(\frac{u}{v})=\frac{vdu-udv}{v^2}$

微分的几何意义

当 $\mathrm{\Delta }y$ 是曲线 $y=f(x)$ 上点的纵坐标的增量时， $dy$ 就是曲线的切线上点的纵坐标的相应增量，当 $|\mathrm{\Delta }x|$ 很小时，$|\mathrm{\Delta }y-dy|$ 比 $|\mathrm{\Delta }x|$ 小得多，因此在点 $M$ 的附近，我们可以用切线段来近似代替曲线段。