常数项级数 ​

级数的收敛与发散 ​

级数 ${\displaystyle \sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{u}_n=u_1+u_2+\cdots +u_n+\cdots }$

级数 ${\displaystyle \sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{u}_n}$ 的部分和： $s_n={\displaystyle \sum _{i=1}^n{u}_i=u_1+u_2+\cdots +u_n}$

级数敛散性定义：

如果极限 $\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}{s}_n=s$ ，则称无穷级数${\displaystyle \sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{u}_n}$ 收敛，极限值 $s$ 称为级数 ${\displaystyle \sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{u}_n}$ 的和，记作 $s={\displaystyle \sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{u}_n=u_1+u_2+\cdots +u_n+\cdots }$ ；如果极限 $\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}{s}_n$ 不存在，则称无穷级数 ${\displaystyle \sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{u}_n}$ 发散

两个重要级数 ​

（1）等比级数

形如 ${\displaystyle \sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}a{q}^n(a\ne 0)}$ ：如果 $|q|<1$ ，则级数 ${\displaystyle \sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}a{q}^n}$ 收敛，其和为 $\frac{a}{1-q}$ ；如果 $|q|\ge 1$ ，则级数 ${\displaystyle \sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}a{q}^n}$ 发散

（2）P-级数

形如 ${\displaystyle \sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{n^p}=\frac{1}{1^p}+\frac{1}{2^p}+\cdots +\frac{1}{n^p}+\cdots }$ ：当 $p>1$ 时，则级数 ${\displaystyle \sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{n^p}}$ 收敛； 当 $p\le 1$ 时，则级数 ${\displaystyle \sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{n^p}}$ 发散；特别地，当 $p=1$ 时，称级数 ${\displaystyle \sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{n}}$ 为 调和级数

收敛级数的基本性质 ​

性质 1 如果 ${\displaystyle \sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{u}_n=s}$ ，则 ${\displaystyle \sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}k{u}_n=ks}$

性质 2 如果 ${\displaystyle \sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{u}_n=s}$ ，${\displaystyle \sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{v}_n=t}$ ，则 ${\displaystyle \sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}(u_n\pm v_n)=s\pm t}$

性质 3 在级数中去掉、加上或改变有限项，不会改变级数的收敛性

性质 4 若级数 ${\displaystyle \sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{u}_n}$ 收敛，则对级数的任意加括号后所称级数仍收敛，但其和不变

推论： 如果加括号后所成的级数发散，则原来级数也发散

性质 5 （必要条件） 如果 ${\displaystyle \sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{u}_n}$ 收敛，则 $\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}{u}_n=0$

正项级数及其判别法 ​

正项级数： 各项都是正数或零的级数称为正项级数

定理 正项级数 ${\displaystyle \sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{u}_n}$ 收敛的充分必要条件为它的部分和数列 $\{s_n\}$ 有界

比值判别法：

设正项级数 ${\displaystyle \sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{u}_n}$ 满足 $\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}\frac{u_{n+1}}{u_n}=\rho$

（1）如果 $\rho <1$ ，则 ${\displaystyle \sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{u}_n}$ 收敛

（2）如果 $\rho >1$ ，则 ${\displaystyle \sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{u}_n}$ 发散

（3）如果 $\rho =1$ ，则 ${\displaystyle \sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{u}_n}$ 可能收敛也可能发散 （此判别法失效）

比较判别法：

设 ${\displaystyle \sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{u}_n}$ 、${\displaystyle \sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{v}_n}$ 都是正项级数，且 $u_n\le v_n$ ，$n=1,2,\dots$

若 ${\displaystyle \sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{v}_n}$ 收敛，则 ${\displaystyle \sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{u}_n}$ 收敛；若 ${\displaystyle \sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{u}_n}$ 发散，则 ${\displaystyle \sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{v}_n}$ 发散

简称：大收则小收，小发则大发

比较判别法的极限形式：

设 ${\displaystyle \sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{u}_n}$ 、${\displaystyle \sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{v}_n}$ 都是正项级数，且 $\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}\frac{u_n}{v_n}=l$

（1）如果 $0<l<+\mathrm{\infty }$ ，则 ${\displaystyle \sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{u}_n}$ 、${\displaystyle \sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{v}_n}$ 同敛散

（2）如果 $l=0$ 且 ${\displaystyle \sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{v}_n}$ 收敛，则 ${\displaystyle \sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{u}_n}$ 收敛

（3）如果 $l=+\mathrm{\infty }$ 且 ${\displaystyle \sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{v}_n}$ 发散，则 ${\displaystyle \sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{u}_n}$ 发散

任意项级数 ​

1）交错级数及其判别法

交错级数：交错级数的一般形式 ${\displaystyle \sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}(-1{)}^{n-1}{u}_n}$ ，其中 $u_n>0$

【例如】${\displaystyle \sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}(-1{)}^{n-1}\frac{1}{n}}$ 是交错级数，${\displaystyle \sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}(-1{)}^{n-1}\frac{1-\cos n\pi }{n}}$ 不是交错级数

莱布尼茨定理：

如果交错级数 ${\displaystyle \sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}(-1{)}^{n-1}{u}_n}$ 满足

（1）$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}{u}_n=0$

（2）$u_n\ge u_{n+1},(n=1,2,\dots )$ ，则级数 ${\displaystyle \sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}(-1{)}^{n-1}{u}_n}$ 收敛

2）绝对收敛与条件收敛

若级数 ${\displaystyle \sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}|u_n|}$ 收敛，则称级数 ${\displaystyle \sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{u}_n}$ 绝对收敛

若级数 ${\displaystyle \sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{u}_n}$ 收敛，而级数 ${\displaystyle \sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}|u_n|}$ 发散，则称级数 ${\displaystyle \sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{u}_n}$ 条件收敛

定理 如果级数 ${\displaystyle \sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}|u_n|}$ 收敛，即绝对收敛，则级数 ${\displaystyle \sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{u}_n}$ 收敛