定积分 ​

定积分定义

设函数 $f(x)$ 在 $[a,b]$ 上有界，在 $[a,b]$ 中任意插入若干个分点，把区间 $[a,b]$ 分隔成 $n$ 个小区间 $[x_{i-1},x_i]$ （$i=1,2,\cdots ,n$） ，记 $\mathrm{\Delta }{x}_i=x_i-x_{i-1}$ （$i=1,2,\cdots ,n$），$\lambda =max\{\mathrm{\Delta }{x}_1,\mathrm{\Delta }{x}_2,\cdots ,\mathrm{\Delta }{x}_n\}$ ，记分割为 $T:a=x_0<x_1<x_2<\cdots <x_{n-1}<x_n=b$ ，当 $\lambda \to 0$ 时，极限值 $\underset{\lambda \to 0}{lim}{\displaystyle \sum _{i=1}^{n}f({\xi }_i)\mathrm{\Delta }{x}_i}$ 与区间 $[a,b]$ 的分法和 ${\xi }_i$ 的取法无关，称这个极限为函数 $f(x)$ 在区间 $[a,b]$ 上的定积分，记作 ${\int }_a^{b}f(x)dx$，即 ${\int }_a^{b}f(x)dx=\underset{\lambda \to 0}{lim}{\displaystyle \sum _{i=1}^{n}f({\xi }_i)\mathrm{\Delta }{x}_i,{\xi }_i\in [x_{i-1,x_i}]}$

说明：

（1）若取特殊分割，$n$ 等分，${\xi }_i$ 取每个小区间的右端点，则有

（2）定积分的值只与被积函数及积分区间有关，而与被积变量的记法无关，即

（3）如果函数 $f(x)$ 在区间 $[a,b]$ 上定积分存在，则称 $f(x)$ 在区间 $[a,b]$ 上可积

（4）定积分的物理意义：设某物体做变速直线运动，已知速度 $v(t)$ 在 $[T_1,T_2]$ 连续且 $v(t)>\ge 0$ ，则在运动期间内物体所经过的路程 $s={\int }_{T_1}^{T_2}v(t)dt$

函数可积的充分条件、必要条件：

定理 1 若 $f(x)$ 在区间 $[a,b]$ 上连续，则 $f(x)$ 在 $[a,b]$ 上可积

定理 2 若 $f(x)$ 在区间 $[a,b]$ 上有界，且只有有限个间断点，则 $f(x)$ 在 $[a,b]$ 上可积

定理 3 （必要条件） 若 $f(x)$ 在 $[a,b]$ 上可积，则 $f(x)$ 在 $[a,b]$ 上有界

定积分的性质 ​

两点规定：

（1）${\int }_a^{a}f(x)dx=0$ （2）${\int }_a^{b}f(x)dx=-{\int }_b^{a}f(x)dx$

性质 1 ${\int }_a^b[f(x)\pm g(x)]dx={\int }_a^{b}f(x)dx\pm {\int }_a^{b}g(x)dx$

性质 2 ${\int }_a^{b}kf(x)dx=k{\int }_a^{b}f(x)dx$

性质 3 设 $a<c<b$ ，则 ${\int }_a^{b}f(x)dx={\int }_a^{c}f(x)dx+{\int }_c^{b}f(x)dx$

性质 4 如果在区间 $[a,b]$ 上 $f(x)=1$ ，则 ${\int }_a^{b}1dx={\int }_a^{b}dx=b-a$

性质 5 如果在区间 $[a,b]$ 上 $f(x)\ge 0$ ，则 ${\int }_a^{b}f(x)dx\ge 0$（$a<b$）

推论 1 如果在区间 $[a,b]$ 上 $f(x)\le g(x)$ ，则 ${\int }_a^{b}f(x)dx\le {\int }_a^{b}g(x)dx$（$a<b$）

推论 2 $|{\int }_a^{b}f(x)dx|\le {\int }_a^b|f(x)|dx$ （$a<b$）

性质 6 设 $M$ 及 $m$ 分别是函数 $f(x)$ 在区间 $[a,b]$ 的最大值与最小值，则 $m(b-a)\le {\int }_a^{b}f(x)dx\le M(b-a)$ （$a<b$）

性质 7 （积分中值定理） 如果函数 $f(x)$ 在区间 $[a,b]$ 上连续，则至少存在 $\xi \in [a,b]$ ，使得 ${\int }_a^{b}f(x)dx=f(\xi )(b-a)$

积分上限函数及其导数 ​

设函数 $f(x)$ 在区间 $[a,b]$ 上连续，且设 $x$ 为 $[a,b]$ 上的一点，把函数 $f(x)$ 在部分区间 $[a,x]$ 上的定积分 ${\int }_a^{x}f(t)dt$ 称为积分上限函数，记为 $\phi (x)={\int }_a^{x}f(t)dt$

定理 如果函数 $f(x)$ 在区间 $[a,b]$ 上连续，那么积分上限函数 $\phi (x)={\int }_a^{x}f(t)dt$ 在 $[a,b]$ 上是可导函数，且 ${\phi }^{\prime }(x)=\frac{d}{dx}{\int }_a^{x}f(t)dt=f(x)(a\le x\le b)$

推论 如果函数 $f(x)$ 在区间 $[a,b]$ 上连续，则函数 $\phi (x)={\int }_a^{x}f(t)dt$ 是 $f(x)$ 在区间 $[a,b]$ 上的一个 * 原函数*

推论 设函数 $f(x)$ 为连续函数，$u(x),v(x)$ 均为可导函数，且可进行复合 $f\circ u$ 与 $f\circ v$ ，则

牛顿-莱布尼兹公式 ​

定理 5 （微积分基本公式） 如果函数 $F(x)$ 是连续函数 $f(x)$ 在区间 $[a,b]$ 上的一个原函数，则 ${\int }_a^{b}f(x)dx=F(b)-F(a)$

定积分的换元法和分部积分法 ​

1）换元积分法

设函数 $f(x)$ 在区间 $[a,b]$ 上连续，函数 $x=\phi (t)$ 满足条件：

（1）$\phi (\alpha )=a,\phi (\beta )=b$

（2）$\phi (t)$ 在 $[\alpha ,\beta ]$ （或 $[\beta ,\alpha ]$）上具有连续函数，且其值域不超出 $[a,b]$ ，则有

​ 这个公式叫做定积分的换元公式

2）分部积分法

几个重要结论 ​

1）定积分在对称区间上的奇偶性

（1）若 $f(x)$ 在 $[-a,a]$ 上连续且为偶函数，则 ${\int }_{-a}^{a}f(x)dx=2{\int }_0^{a}f(x)dx$

（2）若 $f(x)$ 在 $[-a,a]$ 上连续且为奇函数，则 ${\int }_{-a}^{a}f(x)dx=0$

2）定积分的周期性

若 $f(x)$ 是连续的周期函数，周期为 $T$ ，则：

（1）${\int }_a^{a+T}f(x)dx={\int }_0^{T}f(x)dx$

（2）${\int }_a^{a+nT}f(x)dx=n{\int }_0^{T}f(x)dx$ （$n\in N^{+}$）

3）分段函数的定积分

利用 ${\int }_a^{b}f(x)dx={\int }_a^{c}f(x)dx+{\int }_c^{b}f(x)dx$

广义积分 ​

1）无穷区间广义积分

定义 设函数 $f(x)$ 在区间 $[a,+\mathrm{\infty })$ 上连续， 取 $u>a$ ，如果极限 $\underset{u\to +\mathrm{\infty }}{lim}{\int }_a^{u}f(x)dx$ 存在，则称反常积分 ${\int }_a^{+\mathrm{\infty }}f(x)dx$ 收敛，且 ${\int }_a^{+\mathrm{\infty }}f(x)dx=\underset{u\to +\mathrm{\infty }}{lim}{\int }_a^{u}f(x)dx$

​ 如果极限 $\underset{u\to +\mathrm{\infty }}{lim}{\int }_a^{u}f(x)dx$ 不存在，则称反常积分 ${\int }_a^{+\mathrm{\infty }}f(x)dx$ 发散

​ 类似地，设函数 $f(x)$ 在区间 $(-\mathrm{\infty },b]$ 上连续， 取 $u<b$ ，如果极限 $\underset{u\to -\mathrm{\infty }}{lim}{\int }_u^{b}f(x)dx$ 存在，则称反常积分 ${\int }_{-\mathrm{\infty }}^{b}f(x)dx$ 收敛，且 ${\int }_{-\mathrm{\infty }}^{b}f(x)dx=\underset{u\to -\mathrm{\infty }}{lim}{\int }_u^{b}f(x)dx$

​ 如果极限 $\underset{u\to -\mathrm{\infty }}{lim}{\int }_u^{b}f(x)dx$ 不存在，则称反常积分 ${\int }_{-\mathrm{\infty }}^{b}f(x)dx$ 发散

​ 设函数 $f(x)$ 在区间 $(-\mathrm{\infty },+\mathrm{\infty })$ 上连续，如果反常积分 ${\int }_{-\mathrm{\infty }}^{0}f(x)dx$ 和 ${\int }_0^{+\mathrm{\infty }}f(x)dx$ 都收敛，则称反常积分 ${\int }_{-\mathrm{\infty }}^{+\mathrm{\infty }}f(x)dx$ 收敛，且 ${\int }_{-\mathrm{\infty }}^{+\mathrm{\infty }}f(x)dx={\int }_{-\mathrm{\infty }}^{0}f(x)dx+{\int }_0^{+\mathrm{\infty }}f(x)dx$

​ 如果上式有一个反常积分发散，则称反常积分 ${\int }_{-\mathrm{\infty }}^{+\mathrm{\infty }}f(x)dx$ 发散

反常积分的计算： 如果函数 $F(x)$ 是 $f(x)$ 的原函数，则

也可采用以下简记形式：

类似地：

2）无界函数的广义积分（瑕积分）

瑕点 如果函数 $f(x)$ 在点 $a$ 的任一邻域内都无界，那么点 $a$ 称为函数 $f(x)$ 的瑕点，也称为 无穷间断点

定义 设函数 $f(x)$ 在区间 $(a,b]$ 上连续，而在点 $a$ 的右邻域内无界，取 $t>a$ ，如果极限 $\underset{t\to a^{+}}{lim}{\int }_t^{b}f(x)dx$ 存在，则称瑕积分 ${\int }_a^{b}f(x)dx$ 收敛，且

如果极限 $\underset{t\to a^{+}}{lim}{\int }_t^{b}f(x)dx$ 不存在，则称瑕积分 ${\int }_a^{b}f(x)dx$ 发散

​ 类似地，设函数 $f(x)$ 在区间 $[a,b)$ 上连续，而在点 $a$ 的右邻域内无界，取 $t<b$ ，如果极限 $\underset{t\to b^{-}}{lim}{\int }_a^{t}f(x)dx$ 存在，则称瑕积分 ${\int }_a^{b}f(x)dx$ 收敛，且

如果极限 $\underset{t\to b^{-}}{lim}{\int }_a^{t}f(x)dx$ 不存在，则称瑕积分 ${\int }_a^{b}f(x)dx$ 发散

​ 设函数 $f(x)$ 在区间 $[a,b]$ 上除点 $c(a<c<b)$ 外处处连续，而在点 $c$ 的邻域内无界，如果两个反常积分 ${\int }_a^{c}f(x)dx,{\int }_c^{b}f(x)dx$ 都收敛，则称 ${\int }_a^{b}f(x)dx$ 收敛，且

如果上式右侧有一个瑕积分发散，则称瑕积分 ${\int }_a^{b}f(x)dx$ 发散

面积、旋转体体积的计算 ​

1）定积分计算面积

直角坐标情形

（1）设平面图形由上下两条曲线 $y=f_{\mathrm{上}}(x)$ 与 $y=f_{\mathrm{下}}(x)$ 及左右两条直线 $x=a$ 与 $x=b$ 所围成，则平面图形的面积为 $s={\int }_a^b[f_{\mathrm{上}}(x)-f_{\mathrm{下}}(x)]dx$

（2）设平面图形由左右两条曲线 $x={\phi }_{\mathrm{左}}(y)$ 和 $x={\phi }_{\mathrm{右}}(y)$ 及上下两条直线 $y=d$ 与 $y=c$ 所围成，则平面图形的面积为 $s={\int }_c^d[{\phi }_{\mathrm{右}}(x)-{\phi }_{\mathrm{左}}(x)]dy$

2）旋转体的体积

旋转体 是由一个平面图形绕这个平面内一条直线旋转一周而成的立体，这条直线叫做旋转轴

常见的旋转体：圆柱、圆锥、圆台、球体

（1）由连续曲线 $y=f(x)$ ，直线 $x=a,x=b$ 及 $x$ 轴所围成的曲边梯形

​ Ⅰ. 绕 $x$ 轴旋转一周而成的立方体体积为： $V_x={\int }_a^b\pi [f(x){]}^{2}dx$

​ Ⅱ. 绕 $y$ 轴旋转一周而成的立体体积为： （柱壳法）

（2）由连续曲线 $x=g(y)$ ，直线 $y=c,y=d$ 及 $y$ 轴所围成的曲边梯形

​ Ⅰ. 绕 $x$ 轴旋转一周而成的立体体积为：（柱壳法）

​ Ⅱ. 绕 $y$ 轴旋转一周而成的立方体体积为： $V_y={\int }_c^d\pi [g(y){]}^{2}dy$