极限 ​

极限的定义与性质 ​

数列极限的精准定义 ：

如果对任给的 $\epsilon >0$ 形式，存在正整数 $N$ ，当 $n>N$ 时，有 $|x_n-a|<\epsilon$ 成立，则称常数 $a$ 是数列 $\{x_n\}$ 的极限，或者称数列 $\{x_n\}$ 收敛于 $a$ ，记为 $\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}{x}_n=a$ ；否则，就称数列极限不存在，或者说数列是发散的。

数列极限的通俗定义 ：

当项数 $n$ 无限变大时，有通项 $x_n$ 无限地接近某一确定的常数 $a$ ，则称常数 $a$ 是数列 $\{x_n\}$ 的极限，或者称数列 $\{x_n\}$ 收敛于 $a$ ，记为 $\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}{x}_n=a$ ；否则，就称数列极限不存在，或者说数列是发散的。

数列极限的几何解释：

即对于数列 $\{x_n\}$ 而言，从 $N$ 项开始后面所有的项都在 $a$ 的 $\epsilon$ 邻域里面。

数列与函数的关系 ：数列是项数 $n$ 与通项 $x_n$ 之间的对应关系。

函数极限定义 ​

1. 自变量趋于无穷大时函数的极限

精确定义 ：设函数 $f(x)$ ，当 $|x|$ 大于某一正数时有定义，如果存在常数 $A$ ，对于任意给定的正数 $\epsilon$ （无论它多么的小），总存在正数 $M$ ，使得当 $x$ 满足不等式 $|x|>M$ 时，对应的函数值 $f(x)$ 都满足不等式 $|f(x)-A|<\epsilon$ ，那么常数 $A$ 就叫做函数 $f(x)$ 当 $x\to \mathrm{\infty }$ 时的极限，记为$\underset{x\to \mathrm{\infty }}{lim}f(x)=A$ 或 $f(x)\to A$ （当 $x\to \mathrm{\infty }$ ）。

通俗定义 ：如果当 $|x|$ 无限接近于很大的正数 $M$ ，函数 $f(x)$ 的值无限接近于常数 $A$ ，那么常数 $A$ 就叫做函数 $f(x)$ 当 $x\to \mathrm{\infty }$ 时的极限，记为$\underset{x\to \mathrm{\infty }}{lim}f(x)=A$ 或 $f(x)\to A$ （当 $x\to \mathrm{\infty }$ ）。

结论 ：$\underset{x\to \mathrm{\infty }}{lim}f(x)=A\iff \underset{x\to +\mathrm{\infty }}{lim}f(x)=A\mathrm{且}\underset{x\to -\mathrm{\infty }}{lim}f(x)=A$

几何意义 ：

即当 $x\to \mathrm{\infty }$ 时，函数 $f(x)$ 的图像逐渐靠近水平线 $y=A$ 。

2. 自变量趋于有限值时函数的极限

精确定义 ：设 $f(x)$ 为定义在 $x_0$ 的某个去心邻域 $\mathring{U}(x_0)$ 内的函数，如果存在 $A$ ，对于任意给定的正数 $\epsilon$ （无论他多么小），总存在正数 $\delta$ ，使得当 $x$ 满足不等式 $0<|x-x_0|<\delta$ 时，对应的函数值 $f(x)$ 都满足不等式 $|f(x)-A|<\epsilon$ ，那么常数 $A$ 就叫做函数 $f(x)$ 当 $x\to x_0$ 时的极限，记为$\underset{x\to x_0}{lim}f(x)=A$ 或 $f(x)\to A$ （当 $x\to x_0$ ）。

我们指出，定义中的 $0<|x-x_0|$ 表示 $x\ne x_0$ ，所以 $x\to x_0$ 时 $f(x)$ 有没有极限，与 $f(x)$ 在点 $x_0$ 是否有定义并无关系。

通俗定义 ：如果当自变量 $x$ 无限接近于 $x_0$ ，函数 $f(x)$ 的值无限接近于常数 $A$ ，则称当 $x$ 趋于 $x_0$ 时，$f(x)$ 以 $A$ 为极限，记作$\underset{x\to x_0}{lim}f(x)=A$ 。

单侧极限 ​

若当自变量 $x$ 从 $x_0$ 左侧无限接近于 $x$ 时，函数 $f(x)$ 的值无限接近于常数 $A$ ，则常数 $A$ 叫做函数 $f(x)$ 当 $x\to x_0$ 时的左极限，记作$\underset{x\to {x_0}^{-}}{lim}f(x)=A$ 。

若当自变量 $x$ 从 $x_0$ 右侧无限接近于 $x$ 时，函数 $f(x)$ 的值无限接近于常数 $A$ ，则常数 $A$ 叫做函数 $f(x)$ 当 $x\to x_0$ 时的右极限，记作$\underset{x\to {x_0}^{+}}{lim}f(x)=A$ 。

函数极限存在的充要条件 ：

极限的性质 ​

1. 收敛数列的基本性质

极限唯一性 ：收敛函数的极限唯一，即若 $\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}{x}_n=a$ ，则极限 $a$ 唯一。

有界性 ：收敛数列必定有界，即若 $\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}{x}_n=a$ ，则数列 $\{x_n\}$ 有界。

保号性 ：若 $\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}{x}_n=a$ 且 $a>0$ （或 $a<0$ ），则存在正整数 $N$ ，当 $n>N$ 时，有$x_n>0$ （或 $x_n<0$）。

推论 ：如果数列 $\{x_n\}$ 从某项起有 $x_n\ge 0$ （或 $x_n\le 0$ ）且 $\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}{x}_n=a$ ，那么 $a\ge 0$ （或 $a\le 0$ ）。

定理（收敛数列与其子数列的关系） ：如果数列 $\{x_n\}$ 收敛于 $a$ ，那么它的任意子列也收敛且极限也是 $a$ 。

2. 函数极限的性质

极限唯一性：若极限 $\underset{x\to x_0}{lim}f(x)$ 存在，则极限唯一，即若 $\underset{x\to x_0}{lim}f(x)=A$ ，则极限值 $A$ 唯一。

局部有界性：若 $\underset{x\to x_0}{lim}f(x)=A$ ，则存在常数 $M>0$ 和 $\delta >0$ ，使 $0<|x-x_0|<\delta$ 时，有 $|f(x)|\le M$ 。

局部保号性：若$\underset{x\to x_0}{lim}f(x)=A$ 且 $A>0$ （或 $A<0$ ），则存在常数 $\delta >0 $，使得当$0<|x-x_0|<\delta$ 时，有 $f(x)>0$ （或 $f(x)<0$）。

极限的四则运算 ​

定理 1 ：若 $\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}{x}_n=A$ ， $\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}{y}_n=B$

则 （1） $\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}(x_n\pm y_n)=\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}{x}_n\pm \underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}{y}_n$

​ （2）$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}(x_n\cdot y_n)=\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}{x}_n\cdot \underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}{y}_n$

​ （3）当 $B\ne 0$ 时， $\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}(\frac{x_n}{y_n})=\frac{\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}{x}_n}{\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}{y}_n}$

定理 2 ：如果 $limf(x)=A$ ， $limg(x)=B$

则 （1）$lim[f(x)\pm g(x)]=limf(x)\pm limg(x)$

​ （2）$limf(x)\cdot g(x)=limf(x)\cdot limg(x)$

​ （3）当 $B\ne 0$ 时，$lim\frac{f(x)}{g(x)}=\frac{limf(x)}{limg(x)}$

注：无论是数列极限还是函数极限，运用四则运算的前提是各部分极限值存在。

推论 1 ：如果 $limf(x)=A$ ，而 $C$ 为常数，则 $limCf(x)=CA$

推论 2 ：如果 $limf(x)=A$ ，而 $n$ 为正整数，$lim[f(x){]}^n=A^n$

抓大头准则 ​

几个重要公式 ​

（1）$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}{q}^n=0,|q|=1$

（2）$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}\frac{1}{n^k},k>0$

（3）$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}\sqrt[n]{a}=1,a>0$

（4）$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}\sqrt[n]{n}=1$

极限存在准则 ​

准则 1 ：夹逼准则（迫敛性）

如果数列 $\{x_n\}、\{y_n\}、\{z_n\}$ ，满足下列条件：

（1）$y_n\le x_n\le z_n(n=1,2,3\cdots )$

（2）$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}{y}_n=a,\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}{z}_n=a$ ，那么数列 $\{x_n\}$ 的极限存在，且 $\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}{x}_n=a$

准则 2：单调有界定理

单调递增有上界的函数（数列）或单调递增有下界的函数（数列）必有极限。

两个重要极限 ​

重要极限 1：

$\underset{x\to 0}{lim}\frac{sinx}{x}=1$，$\underset{x\to 0}{lim}xsin\frac{1}{x}=1$

重要极限 2：

$\underset{x\to \mathrm{\infty }}{lim}(1+\frac{1}{x}{)}^x=e$，$\underset{x\to \mathrm{\infty }}{lim}(1+x{)}^{\frac{1}{x}}=e$

无穷小量与无穷大量 ​

（1）无穷小量

如果 $\underset{x\to x_0}{lim}f(x)=0$ ，则称函数 $f(x)$ 为当 $x\to x_0$ 时的无穷小量，特别的，以零为极限的数列 $\{x_n\}$ 称为 $n\to \mathrm{\infty }$ 时的无穷小量。

定理 有限个无穷小量的和也是无穷小量

定理 有界函数 与 无穷小量 的乘积是无穷小量

推论 常数与无穷小的乘积是无穷小

推论 有限个无穷小的乘积也是无穷小

（2）无穷大量

如果 $\underset{x\to x_0}{lim}f(x)=\mathrm{\infty }$，则称函数 $f(x)$ 为当 $x\to x_0$ 时的无穷大量。

定理（无穷大与无穷小之间的关系）

在自变量的同一变化过程中，如果 $f(x)$ 为无穷大，则 $\frac{1}{f(x)}$ 为无穷小；

反之，如果 $f(x)$ 为无穷小，且 $f(x)\ne 0$ ，则 $\frac{1}{f(x)}$ 为无穷大。

（3）无穷小阶的比较

定理 设 $\alpha ,\beta$ 是某极限过程中的无穷小，即 $lim\alpha =lim\beta =0$ ，

如果 $lim\frac{\beta }{\alpha }=\mathrm{\infty }$ ，则称 $\beta$ 是 $\alpha$ 的低阶无穷小；

如果 $lim\frac{\beta }{\alpha }=0$ ，则称 $\beta$ 是 $\alpha$ 的高阶无穷小；

如果 $lim\frac{\beta }{\alpha }=c\ne 0$ ，则称 $\beta$ 是 $\alpha$ 的同阶无穷小；

特别地，如果 $lim\frac{\beta }{\alpha }=1$ ，则称 $\beta$ 是 $\alpha$ 的等价无穷小，记作 $\beta \sim \alpha$；

（4）常用等价无穷小代换

当 $x\to 0$ 时，

（1）$\sin x\sim x$ （2）$\arcsin x\sim x$ （3）$\tan x\sim x$

（4）$\arctan x\sim x$ （5）$e^x-1\sim x$ （6）$\ln (1+x)\sim x$

（7）$(1+x{)}^a-1\sim ax$ （8）$\sqrt[n]{1+x}-1\sim \frac{1}{n}x$ （9）$1-\cos x\sim \frac{1}{2}{x}^2$

（10）$a^x-1\sim x\ln a$

特别地，

（11）$\tan x-\sin x=\tan x(1-\cos x)\sim x\cdot \frac{1}{2}{x}^2=\frac{1}{2}{x}^3$

（12）$x-\sin x\sim \frac{1}{6}{x}^3$ （13）$\tan x-x\sim \frac{1}{3}{x}^3$ （14）$x-\ln (1+x)\sim \frac{1}{2}{x}^2$