连续 ​

函数连续定义 ​

（1）定义： 如果函数 $f(x)$ 在点 $x_0$ 的某邻域内有定义，且 $\underset{\mathrm{\Delta }x\to 0}{lim}\mathrm{\Delta }y=0$ ，其中 $\mathrm{\Delta }y=f(x_0+\mathrm{\Delta }x)-f(x_0)$ ，那么就称函数 $y=f(x)$ 在点 $x_0$ 处连续。

注：设 $x=x_0+\mathrm{\Delta }x$ ，则当 $\mathrm{\Delta }x\to 0$ 时，$x\to x_0$ ，因此 $\underset{\mathrm{\Delta }x\to 0}{lim}\mathrm{\Delta }y=0\iff \underset{x\to x_0}{lim}[f(x)-f(x_0)]=0\iff \underset{x\to x_0}{lim}f(x)=f(x_0)$

（2）左右连续性

如果 $\underset{x\to x_0^{-}}{lim}f(x)=f(x_0)$，则称 $y=f(x)$ 在点 $x_0$ 处左连续

如果 $\underset{x\to x_0^{+}}{lim}f(x)=f(x_0)$，则称 $y=f(x)$ 在点 $x_0$ 处右连续

（3）左右连续与连续的关系

$\underset{x\to x_0}{lim}f(x)=f(x_0)\iff \underset{x\to x_0^{-}}{lim}f(x)=\underset{x\to x_0^{+}}{lim}f(x)=f(x_0)$

函数的间断点 ​

间断点定义：

设函数 $f(x)$ 在点 $x_0$ 处的 某去心邻域内有定义 ，如果函数 $f(x)$ 有下列三种情形之一：

（1）在 $x_0$ 没有定义；

（2）虽然在 $x_0$ 有定义，但 $\underset{x\to x_0}{lim}f(x)$ 不存在；

（3）虽然在 $x_0$ 有定义且 $\underset{x\to x_0}{lim}f(x)$ 存在，但 $\underset{x\to x_0}{lim}f(x)\ne f(x_0)$

则称函数 $f(x)$ 在点 $x_0$ 不连续，而点 $x_0$ 称为函数 $f(x)$ 的不连续点或间断点。

间断点的分类 ​

第一类间断点（左极限，右极限都存在）

若 $\underset{x\to x_0^{-}}{lim}f(x)=\underset{x\to x_0^{+}}{lim}f(x)=A\ne f(x_0)$ ，即左极限等于右极限但不等于函数值（包括函数值不存在，极限值存在的情况），则 $x=x_0$ 为 $f(x)$ 的 可去间断点 。

若 $\underset{x\to x_0^{-}}{lim}f(x)=A,\underset{x\to x_0^{+}}{lim}f(x)=B,A\ne B$ ，即左极限右极限都存在但不相等，则 $x=x_0$ 为 $f(x)$ 的 跳跃间断点 。

第二类间断点

$f(x)$ 在 $x_0$ 的左、右极限中 至少有一个不存在 的间断点称为第二类间断点，第二类间断点包含 无穷间断点 、 **震荡间断点 ** 等。

初等函数的连续性 ​

基本初等函数在它们的定义域内都是连续的，一切初等函数在其定义区间内都是连续的。

注：1）所谓定义区间，就是包含在定义域内的区间

​ 2）如果 $f(x)$ 是初等函数，且 $x_0$ 是 $f(x)$ 的定义区间内的点，则 $\underset{x\to x_0}{lim}f(x)=f(x_0)$

闭区间上连续函数的性质 ​

最大值与最小值定义

对于在区间 $I$ 上有定义的函数 $f(x)$ ，如果有 $x_0\in I$ ，使得对于任意 $x_0\in I$ 都有 $f(x)\le f(x_0)$（$f(x)\ge f(x_0)$），则称 $f(x_0)$ 是函数 $f(x)$ 在区间 $I$ 上的最大值（最小值）

定理 （最大值和最小值定理） 闭区间上的连续函数必有最大值和最小值

定理 （有界性定理） 闭区间上的连续函数一定在该区间上有界

定理 （零点定理） 设函数 $f(x)$ 在闭区间 $[a,b]$ 上连续，且 $f(a)\cdot f(b)\le 0$ ，那么至少存在一点 $\xi \in (a,b)$ ，使得 $f(\xi )=0$

定理 （界值定理） 设函数 $f(x)$ 在闭区间 $[a,b]$ 上连续，且 $f(a)\ne f(b)$ ，那么，对于 $f(a)$ 与 $f(b)$ 之间的任意一个数 $c$ ，至少存在一点 $\xi \in (a,b)$ ，使得 $f(\xi )=c$

推论： 设函数 $f(x)$ 在闭区间 $[a,b]$ 上连续，则 $f(x)$ 可在 $[a,b]$ 取到介于最大值 $M$ ，最小值 $m$ 之间的任何值，即若 $m\le c\le M$ ，则存在 $\xi \in [a,b]$ ，使得 $f(\xi )=c$