一阶微分方程 ​

微分方程的基本概念 ​

1）微分方程的阶、解、通解、特解和初始条件

微分方程： 表示未知数、未知函数的导数与自变量之间的关系的方程，叫做微分方程

微分方程的阶： 微分方程中所含未知函数的导数的最高阶数，叫做微分方程的阶

微分方程的解： 满足微分方程的函数叫做该微分方程的解（把函数带入微分方程能使该方程成为恒等式）

通解： 如果微分方程的解中含有任意常数，且独立的任意常数的个数与微分方程的阶数相同，这样的解叫做微分方程的通解

特解： 确定了通解中的任意常数以后，就得到微分方程的特解，即不含任意常数的解

初始条件： 用于确定通解中任意常数的条件，称为初始条件

可分离变量的微分方程 ​

形式： $y^{\prime }=f(x,y)=\frac{f(x)}{g(y)}$

方法： （1）分离变量： $g(y)dy=f(x)dx$

​ （2）两边积分： $\int g(y)dy=\int f(x)dx$

​ （3）求积分后得： $G(y)=F(x)+C$

那么 $G(y)=F(x)+C$ 称为隐式 （通）解

齐次方程 ​

形式： $\frac{dy}{dx}=f(x,y)=\phi (\frac{y}{x})$

方法： （1） $f(x,y)=\phi (\frac{y}{x})$ 中，令 $u=\frac{y}{x}$ ，即 $y=ux$ ，则 $\frac{dy}{dx}=x\frac{du}{dx}+u$

​ （2）分离变量，得： $\frac{du}{\phi (u)-u}=\frac{dx}{x}$

​ （3）两边积分，得： $\int \frac{du}{\phi (u)-u}=\int \frac{dx}{x}$

​ （4）求出积分后，再用 $\frac{y}{x}$ 替代 $u$ ，使得所给齐次方程的解

一阶线性微分方程 ​

形式： $\frac{dy}{dx}+P(x)y=Q(x)$ 或者 $\frac{dx}{dy}+P(y)x=Q(y)$

通解公式： $y=e^{-\int P(x)dx}[\int Q(x)e^{P(x)dx}dx+C]$ 或者 $x=e^{-\int P(y)dy}[\int Q(y)e^{P(y)dy}dy+C]$