中值定理及导数的应用 ​

中值定理 ​

费马定理 设函数 $f(x)$ 在点 $x_0$ 的某邻域 $U(x_0)$ 内有定义，并且在 $x_0$ 处可导，如果对任意的 $x\in U(x_0)$ ，有 $f(x)\le f(x_0)$ （或 $f(x)\ge f(x_0)$），那么 $f^{\prime }(x_0)=0$

通常称导数等于零的点为函数的 驻点 （或稳定点、临界点）

罗尔定理 如果函数 $f(x)$ 在闭区间 $[a,b]$ 上连续，在开区间 $(a,b)$ 内可导，且有 $f(a)=f(b)$ ，那么至少存在一点 $\xi \in (a,b)$ ，使得 $f^{\prime }(\xi )=0$

罗尔定理的几何意义： 如果连续曲线 $f(x)$ 的弧 $\widehat{AB}$ 上除端点外处处具有不垂直 $x$ 轴的切线，且两个端点的纵坐标相等，即 $f(a)=f(b)$，那么曲线弧上至少有一个最高点 $C$ 或最低点 $D$ ，且曲线在该点处有水平切线

拉格朗日中值定理 如果函数 $f(x)$ 在闭区间 $[a,b]$ 上连续，在开区间 $(a,b)$ 内可导，那么至少存在一点 $\xi \in (a,b)$ ，使得 $f(b)-f(a)=f^{\prime }(\xi )(b-a)$

拉格朗日中值定理的几何意义： 如果连续曲线 $f(x)$ 的弧 $\widehat{AB}$ 上除端点外处处具有不垂直 $x$ 轴的切线，那么这条弧上至少存在一点 $C$ ，使曲线在 $C$ 处的切线平行于弦 $AB$

推论： 若函数 $f(x)$ 在区间 $I$ 上可导，且 $f^{\prime }(x)=0$ （$\mathrm{\forall }x\in I$），则 $f(x)$ 为 $I$ 上的常值函数

导数的应用 ​

1）洛必达法则

**定理：**设函数 $f(x),g(x)$ 满足

（1）$\underset{x\to a}{lim}f(x)=\underset{x\to a}{lim}g(x)=0$ （或 $\mathrm{\infty }$）

（2）在 $\mathring{U}(a)$ 内，$f^{\prime }(x),g^{\prime }(x)$ 都存在，且 $g^{\prime }(x)\ne 0$

（3）$\underset{x\to a}{lim}\frac{f^{\prime }(x)}{g^{\prime }(x)}=A$ （或 $\mathrm{\infty }$）

则 $\underset{x\to a}{lim}\frac{f(x)}{g(x)}=\underset{x\to a}{lim}\frac{f^{\prime }(x)}{g^{\prime }(x)}=A$ （或 $\mathrm{\infty }$）

注： 若 $x\to \mathrm{\infty }$ 时，满足相应的条件也可用洛必达

2）函数单调性的判定法

定理 （函数单调性的判定法） 设函数 $y=f(x)$ 在区间 $[a,b]$ 连续，在开区间 $(a,b)$ 内可导

（1）如果在 $(a,b)$ 内 $f^{\prime }(x)>0$ ，那么函数 $y=f(x)$ 在 $(a,b)$ 上单调递增

（2）如果在 $(a,b)$ 内 $f^{\prime }(x)<0$ ，那么函数 $y=f(x)$ 在 $(a,b)$ 上单调递减

如果把判定法中的闭区间换成其他各种区间（包括无穷区间），那么结论也成立

注： 利用导数求函数单调区间的步骤：

（1）先求出函数的定义域

（2）求 $f^{\prime }(x)$ ，找出驻点和不可导点

（3）以 （2） 中求出的点作为隔断点列表

（4）根据表格回答问题

3）函数极值

极值的定义

设函数 $f(x)$ 在点 $x_0$ 的某邻域 $U(x_0)$ 内有定义，如果对于去心邻域内任意 $x\in \mathring{U}(x_0)$ ，都有 $f(x)<f(x_0)$ （或 $f(x)>f(x_0)$ ），则称 $f(x_0)$ 是函数 $f(x)$ 的一个极大值 （或极小值），函数的极大值和极小值统称为函数的极值，使函数取得极值的点为极值点。

定理 1 （必要条件） 设函数 $f(x)$ 在点 $x_0$ 处可导，且在 $x_0$ 处取得极值，则 $f^{\prime }(x_0)=0$

由上述必要条件可知，可导函数的极值点必定是函数的驻点，但反过来，函数的驻点不一定是极值点，【例如】$f(x)=x^3$ ，所以函数的驻点只是可能的极值点，此外，函数在它的导数不存在的点也可能取得极值，【例如】$f(x)=|x|$

极值的第一充分条件

函数 $f(x)$ 在点 $x_0$ 处连续，在 $x_0$ 的某去心邻域 $\mathring{U}(x_0,\delta )$ 内可导

（1）如果在 $(x_0-\delta ,x_0)$ 内 $f^{\prime }(x)>0$ ，在 $(x_0,x_0+\delta )$ 内 $f^{\prime }(x)<0$ ，那么函数 $f(x)$ 在 $x_0$ 处取得极大值

（2）如果在 $(x_0-\delta ,x_0)$ 内 $f^{\prime }(x)<0$ ，在 $(x_0,x_0+\delta )$ 内 $f^{\prime }(x)>0$ ，那么函数 $f(x)$ 在 $x_0$ 处取得极小值

（3）如果在 $(x_0-\delta ,x_0)$ 及 $(x_0,x_0+\delta )$ 内 $f^{\prime }(x)$ 的符号相同 ，那么函数 $f(x)$ 在 $x_0$ 处没有极值

确定极值点和极值的步骤：

（1）求出函数 $f(x)$ 的定义域和导数 $f^{\prime }(x)$

（2）求出函数 $f(x)$ 的全部驻点和不可导点

（3）列表判断（考察 $f^{\prime }(x)$ 的符号在每个驻点和不可导点的左右临近的情况，以便确定该点是否是极值点，如果是极值点，还要按极值充分条件确定对应的函数值是极大值还是极小值）

（4）确定出函数的所有极值点和极值

极值的第二充分条件

函数 $f(x)$ 在点 $x_0$ 具有二阶导数且 $f^{\prime }(x_0)=0,f^{″}(x_0)\ne 0$ ，那么

（1）当 $f^{″}(x_0)<0$ 时，函数 $f(x)$ 在 $x_0$ 处取得极大值

（1）当 $f^{″}(x_0)>0$ 时，函数 $f(x)$ 在 $x_0$ 处取得极小值

极值与最值得区别与联系：

区别： 函数的极值概念是 局部性 的，即如果 $f(x_0)$ 是函数 $f(x)$ 的一个极值，那只是就 $x_0$ 附近的一个局部范围来说，$f(x_0)$ 是 $f(x)$ 的一个最值；如果就 $f(x)$ 的整个定义域来说， $f(x_0)$ 不一定是最值

联系： 若函数 $y=f(x)$ 在闭区间区间 $[a,b]$ 连续，则函数在 $[a,b]$ 上一定存在最大值和最小值，函数的最大值和最小值可能在区间的端点处取得，若最值不在区间的端点取得，则必在开区间 $(a,b)$ 内取得，在这种情况下，最值一定是极值，因此，函数在闭区间 $[a,b]$ 上的最大值一定是函数的所有极大值和区间端点处的函数值中最大者，同理函数在闭区间 $[a,b]$ 上的最小值一定是函数的所有极小值和区间端点处的函数值中最小者

4）最大值和最小值的求法

（1）按照确定极值点和极值的步骤先求出函数 $f(x)$ 的所有极值

（2）求出端点处的函数值 $f(a)$ 和 $f(b)$

（3）比较所有极值和端点处函数值的大小，其中最大的便是函数 $f(x)$ 在 $[a,b]$ 上的最大值，最小的便是函数 $f(x)$ 在 $[a,b]$ 上的最小值

注意：

（1）$f(x)$ 在一个区间（有限或无限，开或闭）内可导且只有一个驻点 $x_0$ ，并且这个驻点 $x_0$ 是函数 $f(x)$ 的极值点，那么，当 $f(x_0)$ 是极大值时，$f(x_0)$ 就是 $f(x)$ 在该区间上的最大值；当 $f(x_0)$ 是极小值时，$f(x_0)$ 就是 $f(x)$ 在该区间上的最小值

（2）应当指出，实际问题中，往往根据问题的性质就可以断定函数 $f(x)$ 有最大值或最小值，而且一定在定义区间内部取得，这时如果 $f(x)$ 在定义区间内部只有一个驻点，那么不必讨论 $f(x_0)$ 是否是极值，就可以断定 $f(x_0)$ 是最大值还是最小值

5）曲线凹凸性及拐点

定义 设 $f(x)$ 在区间 $I$ 上连续，如果对 $I$ 上任意两点 $x_1,x_2$ ，恒有 $f(\frac{x_1+x_2}{2})<\frac{f(x_1)+f(x_2)}{2}$ ，那么称 $f(x)$ 在 $I$ 上的图形是凹的；

定义 设 $f(x)$ 在区间 $I$ 上连续，如果对 $I$ 上任意两点 $x_1,x_2$ ，恒有 $f(\frac{x_1+x_2}{2})>\frac{f(x_1)+f(x_2)}{2}$ ，那么称 $f(x)$ 在 $I$ 上的图形是凸的；

凹凸性的判定：

设 $f(x)$ 在 $[a,b]$ 上连续，在 $(a,b)$ 内具有一阶和二阶导数，那么

（1）若在 $(a,b)$ 内 $f^{″}(x)>0$ ，则 $f(x)$ 在 $[a,b]$ 上的图形是凹的

（2）若在 $(a,b)$ 内 $f^{″}(x)<0$ ，则 $f(x)$ 在 $[a,b]$ 上的图形是凸的

拐点： 连续曲线 $y=f(x)$ 在凹弧和凸弧的分界点称为该曲线的拐点

确定曲线凹凸区间及拐点的步骤：

（1）确定函数 $y=f(x)$ 的定义域

（2）求出二阶导数 $f^{″}(x)$

（3）求使二阶导数为零的点和使二阶导数不存在的点

（4）列表判断，确定出曲线凹凸区间和拐点

6）渐近线

一般地，若曲线 $C$ 上的动点 $P$ 沿着曲线无限地远离原点时，点 $P$ 与某一固定直线 $L$ 的距离趋近于零，则称 $L$ 为曲线 $C$ 的 渐近线

如果 $\underset{x\to +\mathrm{\infty }}{lim}f(x)=a$，则直线 $y=a$ 称为函数 $y=f(x)$ 的 水平渐近线

如果 $\underset{x\to -\mathrm{\infty }}{lim}f(x)=b$，则直线 $y=b$ 称为函数 $y=f(x)$ 的 水平渐近线

如果 $\underset{x\to x_0}{lim}f(x)=\mathrm{\infty }$ （$\underset{x\to x_0^{+}}{lim}f(x)=\mathrm{\infty }$ 或 $\underset{x\to x_0^{-}}{lim}f(x)=\mathrm{\infty }$），则直线 $x=x_0$ 称为函数 $y=f(x)$ 的 垂直渐近线

如果 $k=\underset{x\to +\mathrm{\infty }}{lim}\frac{f(x)}{x},b=\underset{x\to +\mathrm{\infty }}{lim}[f(x)-kx]$ ，则直线 $y=kx+b$ 是 $y=f(x)$ 的 斜渐近线

如果 $k=\underset{x\to -\mathrm{\infty }}{lim}\frac{f(x)}{x},b=\underset{x\to -\mathrm{\infty }}{lim}[f(x)-kx]$ ，则直线 $y=kx+b$ 是 $y=f(x)$ 的 斜渐近线

注意： 并不是任何函数曲线都有渐近线，曲线也不一定只有一条渐近线